SNY har ordet

En transform är ett sätt att omvandla en funktion till en annan funktion som i det speciella sammanhanget är mer lätthanterlig. Transformer används inom nästan all naturvetenskap och teknik. Kursen läses av MED och Yi under vårterminen i årskurs 2.

Kursutvärderingar

Logga in för att läsa kursutväderingar

Innehåll

I denna kurs studerar vi några viktiga linjära transformationer, med hjälp av vilka linjära problem (differential-, integral- differensekvationer) kan översättas till mer hanterbara algebraiska problem, vilkas lösningar sedan översättas tillbaka till lösningar till de ursprungliga problemen.
Följande studeras: Fourierserier, som översätter periodiska funktioner till funktionsserier. Dessa serier används för att analysera periodiska förlopp. Här är konvergensproblemet för funktionsserier viktigt, och vi tar upp likformig och punktvis konvergens samt konvergens i medel för Fourierserier. Bessels olikhet och Parsevals sats är nyckelresultat. Vi studerar även tillämpningar av fourierserier för att lösa randvärdesproblem för linjära partiella differentialekvationer.
Fouriertransformer: dessa transformer används för analys av icke-periodiska förlopp. Inversionsformeln för Fouriertransformer är central och verktygen omfattar även räkneregler, faltningsformeln och Plancherels sats.
Laplacetransformen: översätter funktioner av en reell variabel till funktioner definierade i det komplexa planet, och används för att lösa bl a begynnelsevärdesproblem . Verktygen omfattar räkneregler, faltningsformeln samt begynnelse- och slutvärdessatsen.
Z-transformen: översätter funktioner på de naturliga talen till potensserier, och används för att lösa differensekvationer. Verktygen omfattar räkneregler och faltningsformeln.

Mål

Kursen avser att ge den studerande fördjupade kunskaper inom områdena fourieranalys och transformteori, som har talrika tillämpningar inom såväl tekniken som matematiken. Efter avslutad kurs skall studenten

• ha kännedom om tillräckliga villkor för att de olika transformerna skall existera
• ha kännedom om och kunna använda enkla egenskaper hos transformerna (t. ex. beteende i oändligheten, skalnings- och förskjutningsregler, derivations- och integrationsregler, regler för multiplikation med tidsvariabeln)
• kunna härleda transformer av vanliga funktioner
• ha kännedom om inversionssatser, entydighetssatser, faltningsformler och formler av typen Parseval-Plancherel,
• kunna tillämpa transformteorin för att lösa problem såsom differentialekvationer, differensekvationer och faltningsekvationer
• ha kännedom om och kunna tillämpa några resultat om likformig konvergens (kontinuitet, deriverbarhet och integrerbarhet hos gränsfunktionen, Weierstrass majorantsats).

Examinationsmoment

TEN1 - 4,0 HP
En skriftlig tentamen (U,3,4,5)

Organisation

Undervisningen ges som föreläsningar och lektioner.

Litteratur

Pinkus, A., Zafrany, S.: Fourier Series and Integral Transforms.
Kompletterande material (exempelsamling) utgivet av MAI.

Rekommenderade förkunskaper

Envariabelanalys 1 TATA41 - 6,0 HP - HT2 block 3 | VT1 block 3 | VT1 block 4 | HT2 block 2

Envariabelanalys 2 TATA42 - 6,0 HP - VT1 block 1 | VT1 block 2 | VT2 block 2 | VT2 block 3

Flervariabelanalys TATA43 - 8,0 HP - VT2 block 2

Linjär algebra TATA24 - 8,0 HP - HT1 block 1, HT2 block 4 | HT1 block 4, HT2 block 4

Kommentarer

Logga in för att kunna läsa och skriva kommentarer.